定理1：無限回微分可能でありながら、半直線上でゼロとなる関数
関数 \(\psi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) を次のように定める。
$$ \psi(t)= \begin{cases} \exp\left(-\dfrac{1}{t}\right), & t>0,\\ 0, & t\leq 0. \end{cases} $$
このとき、
$$ \psi\in C^\infty(\mathbb{R}) $$
である。さらに、任意の非負整数 \(k\) に対して、
$$ \psi^{(k)}(0)=0 $$
が成り立つ。
証明
まず、任意の非負整数 \(m\) に対して、
$$ \lim_{t\downarrow 0}t^{-m}\exp\left(-\frac{1}{t}\right)=0 $$
が成り立つことを示す。
\(s=1/t\) とおくと、\(t\downarrow 0\) のとき \(s\to\infty\) であり、
$$ t^{-m}\exp\left(-\frac{1}{t}\right)=s^m e^{-s} $$
となる。
指数関数は任意の多項式より速く増大するので、
$$ \lim_{s\to\infty}s^m e^{-s}=0 $$
である。したがって、
$$ \lim_{t\downarrow 0}t^{-m}\exp\left(-\frac{1}{t}\right)=0 $$
を得る。
次に、任意の非負整数 \(k\) に対して、ある多項式 \(P_k\) が存在し、\(t>0\) において、
$$ \psi^{(k)}(t)=P_k\left(\frac{1}{t}\right)\exp\left(-\frac{1}{t}\right) $$
と表されることを示す。
\(k=0\) の場合は、
$$ P_0(s)=1 $$
とおけばよい。
ある非負整数 \(k\) に対して、
$$ \psi^{(k)}(t)=P_k\left(\frac{1}{t}\right)\exp\left(-\frac{1}{t}\right) $$
と表されると仮定する。この両辺を微分すると、
$$ \begin{aligned} \psi^{(k+1)}(t) &=\frac{d}{dt}\left[P_k\left(\frac{1}{t}\right)\exp\left(-\frac{1}{t}\right)\right]\\ &=-\frac{1}{t^2}P_k’\left(\frac{1}{t}\right)\exp\left(-\frac{1}{t}\right) +\frac{1}{t^2}P_k\left(\frac{1}{t}\right)\exp\left(-\frac{1}{t}\right)\\ &=\frac{1}{t^2}\left[ P_k\left(\frac{1}{t}\right)-P_k’\left(\frac{1}{t}\right) \right]\exp\left(-\frac{1}{t}\right). \end{aligned} $$
したがって、
$$ P_{k+1}(s)=s^2\left(P_k(s)-P_k'(s)\right) $$
と定めれば、
$$ \psi^{(k+1)}(t)=P_{k+1}\left(\frac{1}{t}\right)\exp\left(-\frac{1}{t}\right) $$
となる。
数学的帰納法により、任意の非負整数 \(k\) に対して、そのような多項式 \(P_k\) が存在する。
ここで、各非負整数 \(k\) に対して、関数 \(g_k:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) を
$$ g_k(t)= \begin{cases} P_k\left(\dfrac{1}{t}\right)\exp\left(-\dfrac{1}{t}\right), & t>0,\\ 0, & t\leq 0 \end{cases} $$
と定める。
\(P_k\) は多項式であるから、ある非負整数 \(m\) と定数 \(C>0\) が存在し、十分小さい \(t>0\) に対して、
$$ \left|P_k\left(\frac{1}{t}\right)\right|\leq Ct^{-m} $$
が成り立つ。
したがって、
$$ \left|g_k(t)\right| \leq Ct^{-m}\exp\left(-\frac{1}{t}\right) $$
である。先ほど示した極限から、
$$ \lim_{t\downarrow 0}g_k(t)=0 $$
を得る。
\(t\leq 0\) では \(g_k(t)=0\) であるため、\(g_k\) は \(t=0\) においても連続である。
次に、\(g_k\) が \(t=0\) で微分可能であることを確認する。\(h<0\) のとき、
$$ \frac{g_k(h)-g_k(0)}{h}=0 $$
である。一方、\(h>0\) のとき、
$$ \frac{g_k(h)-g_k(0)}{h} = \frac{1}{h}P_k\left(\frac{1}{h}\right)\exp\left(-\frac{1}{h}\right) $$
である。
\(P_k\) が多項式であることと、指数関数による減衰から、
$$ \lim_{h\downarrow 0} \frac{1}{h}P_k\left(\frac{1}{h}\right)\exp\left(-\frac{1}{h}\right)=0 $$
が成り立つ。
したがって、
$$ g_k'(0)=0 $$
である。
\(t\neq 0\) では通常の微分計算により、
$$ g_k'(t)=g_{k+1}(t) $$
である。また、\(g_{k+1}(0)=0\) であるから、\(t=0\) においても、
$$ g_k'(0)=g_{k+1}(0) $$
が成り立つ。
よって、実数全体で、
$$ g_k’=g_{k+1} $$
である。
ここで \(g_0=\psi\) であるため、この関係を繰り返すと、任意の非負整数 \(k\) に対して、
$$ \psi^{(k)}=g_k $$
となる。
したがって、
$$ \psi\in C^\infty(\mathbb{R}) $$
であり、さらに、
$$ \psi^{(k)}(0)=g_k(0)=0 $$
が任意の非負整数 \(k\) に対して成り立つ。
$$ \Box $$
定理2：滑らかでコンパクトな台をもつ関数の存在
\(x\in\mathbb{R}^n\) に対して、
$$ \eta(x)= \begin{cases} \displaystyle \exp\left(-\frac{1}{1-|x|^2}\right), & |x|<1,\\ 0, & |x|\geq 1 \end{cases} $$
と定める。
このとき、
$$ \eta\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n) $$
である。
さらに、
$$ \eta(x)\geq 0 $$
であり、その台は、
$$ \operatorname{supp}\eta=\overline{B(0,1)} $$
で与えられる。
証明
定理1で定義した関数 \(\psi\) を用いると、\(\eta\) は、
$$ \eta(x)=\psi\left(1-|x|^2\right) $$
と表される。
写像
$$ x\longmapsto 1-|x|^2 $$
は \(\mathbb{R}^n\) 上の無限回微分可能な関数である。
また、定理1より、
$$ \psi\in C^\infty(\mathbb{R}) $$
である。
したがって、滑らかな関数の合成として、
$$ \eta\in C^\infty(\mathbb{R}^n) $$
が成り立つ。
次に、\(\eta\) の台を求める。
\(|x|<1\) ならば、
$$ 1-|x|^2>0 $$
であるから、
$$ \eta(x)=\exp\left(-\frac{1}{1-|x|^2}\right)>0 $$
である。
一方、\(|x|\geq 1\) ならば、定義より、
$$ \eta(x)=0 $$
である。
したがって、\(\eta\) がゼロでない点の集合は、
$$ \left\{x\in\mathbb{R}^n:\eta(x)\neq 0\right\}=B(0,1) $$
である。
関数の台は、その関数がゼロでない点の集合の閉包として定義される。すなわち、一般に関数 \(f\) の台は、
$$ \operatorname{supp}f = \overline{\left\{x:f(x)\neq 0\right\}} $$
である。
よって、
$$ \operatorname{supp}\eta = \overline{B(0,1)} $$
となる。
閉球 \(\overline{B(0,1)}\) は、\(\mathbb{R}^n\) において閉かつ有界である。
ハイネ・ボレルの定理より、\(\mathbb{R}^n\) の部分集合は閉かつ有界であることとコンパクトであることが同値である。
したがって、
$$ \overline{B(0,1)} $$
はコンパクトである。
以上により、\(\eta\) は無限回微分可能であり、かつコンパクトな台をもつ。したがって、
$$ \eta\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n) $$
である。
また、指数関数は正であり、単位球の外部では \(\eta=0\) であるから、
$$ \eta(x)\geq 0 $$
も成り立つ。
$$ \Box $$
系1：軟化子の存在
定理2で定義した関数 \(\eta\) に対して、
$$ A=\int_{\mathbb{R}^n}\eta(x)\,dx $$
とおく。
このとき、
$$ 0<A<\infty $$
である。
したがって、
$$ \rho(x)=\frac{\eta(x)}{A} $$
と定めることができる。
この関数 \(\rho\) は、
$$ \rho\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n) $$
$$ \rho(x)\geq 0 $$
$$ \int_{\mathbb{R}^n}\rho(x)\,dx=1 $$
を満たす。
さらに、
$$ \operatorname{supp}\rho=\overline{B(0,1)} $$
である。
証明
定理2より、\(\eta\geq 0\) であり、単位開球 \(B(0,1)\) 上では、
$$ \eta(x)>0 $$
である。
したがって、
$$ A=\int_{\mathbb{R}^n}\eta(x)\,dx>0 $$
である。
一方、\(\eta\) の台はコンパクト集合 \(\overline{B(0,1)}\) であり、\(\eta\) は連続である。
したがって、\(\eta\) は \(\overline{B(0,1)}\) 上で有界である。すなわち、ある定数 \(M>0\) が存在して、
$$ 0\leq \eta(x)\leq M $$
が成り立つ。
よって、
$$ \begin{aligned} A &=\int_{B(0,1)}\eta(x)\,dx\\ &\leq M|B(0,1)|\\ &<\infty. \end{aligned} $$
以上により、
$$ 0<A<\infty $$
である。
したがって、
$$ \rho(x)=\frac{\eta(x)}{A} $$
と定義できる。
\(\rho\) は \(\eta\) の正の定数倍であるから、
$$ \rho\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n) $$
であり、
$$ \rho(x)\geq 0 $$
である。
また、正の定数倍によってゼロでない点の集合は変わらないので、
$$ \operatorname{supp}\rho = \operatorname{supp}\eta = \overline{B(0,1)} $$
である。
さらに、
$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}\rho(x)\,dx &=\int_{\mathbb{R}^n}\frac{\eta(x)}{A}\,dx\\ &=\frac{1}{A}\int_{\mathbb{R}^n}\eta(x)\,dx\\ &=\frac{A}{A}\\ &=1. \end{aligned} $$
したがって、\(\rho\) は、
$$ \rho\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n), \qquad \rho\geq 0, \qquad \int_{\mathbb{R}^n}\rho(x)\,dx=1 $$
を満たす。
$$ \Box $$
系2：任意の半径をもつ軟化子
\(\varepsilon>0\) に対して、
$$ \rho_\varepsilon(x) = \frac{1}{\varepsilon^n} \rho\left(\frac{x}{\varepsilon}\right) $$
と定める。
このとき、
$$ \rho_\varepsilon\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n) $$
$$ \rho_\varepsilon(x)\geq 0 $$
$$ \int_{\mathbb{R}^n}\rho_\varepsilon(x)\,dx=1 $$
が成り立つ。
さらに、その台は、
$$ \operatorname{supp}\rho_\varepsilon = \overline{B(0,\varepsilon)} $$
である。
証明
写像 \(x\mapsto x/\varepsilon\) は滑らかであり、\(\rho\in C^\infty(\mathbb{R}^n)\) である。
したがって、
$$ \rho_\varepsilon\in C^\infty(\mathbb{R}^n) $$
である。
また、
$$ \rho_\varepsilon(x)\neq 0 $$
であることは、
$$ \rho\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\neq 0 $$
であることと同値である。
\(\rho\) がゼロでない点の集合は \(B(0,1)\) であるから、
$$ \rho\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\neq 0 $$
であることは、
$$ \left|\frac{x}{\varepsilon}\right|<1 $$
であることと同値である。
さらに、これは、
$$ |x|<\varepsilon $$
と同値である。
したがって、
$$ \left\{x\in\mathbb{R}^n:\rho_\varepsilon(x)\neq 0\right\} = B(0,\varepsilon) $$
となる。
よって、
$$ \operatorname{supp}\rho_\varepsilon = \overline{B(0,\varepsilon)} $$
である。
この閉球はコンパクトであるため、
$$ \rho_\varepsilon\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n) $$
となる。
また、\(\rho\geq 0\) であるから、
$$ \rho_\varepsilon\geq 0 $$
である。
最後に、変数変換
$$ y=\frac{x}{\varepsilon} $$
を行う。このとき、
$$ x=\varepsilon y, \qquad dx=\varepsilon^n\,dy $$
である。
したがって、
$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n}\rho_\varepsilon(x)\,dx &= \int_{\mathbb{R}^n} \frac{1}{\varepsilon^n} \rho\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\,dx\\ &= \int_{\mathbb{R}^n} \frac{1}{\varepsilon^n} \rho(y)\varepsilon^n\,dy\\ &= \int_{\mathbb{R}^n}\rho(y)\,dy\\ &=1. \end{aligned} $$
以上により、すべての主張が示された。
$$ \Box $$
具体例：一次元の軟化子
一次元、すなわち \(n=1\) の場合には、
$$ \eta(x)= \begin{cases} \displaystyle \exp\left(-\frac{1}{1-x^2}\right), & -1<x<1,\\ 0, & |x|\geq 1 \end{cases} $$
と定める。
さらに、
$$ A=\int_{-1}^{1}\exp\left(-\frac{1}{1-x^2}\right)\,dx $$
とおき、
$$ \rho(x)=\frac{1}{A}\eta(x) $$
と定める。
このとき、
$$ \rho\in C_c^\infty(\mathbb{R}) $$
$$ \rho(x)\geq 0 $$
$$ \int_{\mathbb{R}}\rho(x)\,dx=1 $$
であり、
$$ \operatorname{supp}\rho=[-1,1] $$
となる。
証明
\(-1<x<1\) では、
$$ \rho(x)>0 $$
であり、\(|x|\geq 1\) では、
$$ \rho(x)=0 $$
である。
したがって、
$$ \left\{x\in\mathbb{R}:\rho(x)\neq 0\right\} = (-1,1) $$
である。
よって、
$$ \operatorname{supp}\rho = \overline{(-1,1)} = [-1,1] $$
となる。
閉区間 \([-1,1]\) はコンパクトであるため、\(\rho\) はコンパクトな台をもつ。
また、定理1および定理2によって、境界 \(x=\pm1\) では、関数の値だけでなく、任意の階数の導関数もゼロへつながる。
したがって、\(\rho\) は区間 \([-1,1]\) の外側で恒等的にゼロであるにもかかわらず、実数全体で無限回微分可能である。
$$ \Box $$
コメント