前回の記事では、
$$ \rho\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n), \qquad \rho\geq 0, \qquad \int_{\mathbb{R}^n}\rho(x)\,dx=1 $$
を満たす関数、すなわち軟化子が実際に存在することを示した。
今回は、局所可積分関数に軟化子を畳み込むと、元の関数が連続でなくても無限回微分可能な関数が得られることを証明する。
軟化子の拡大・縮小
関数 \(\rho\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)\) が、
$$ \operatorname{supp}\rho=\overline{B(0,1)} $$
を満たすとする。
\(\varepsilon>0\) に対して、
$$ \rho_\varepsilon(x) = \frac{1}{\varepsilon^n} \rho\left(\frac{x}{\varepsilon}\right) $$
と定める。
このとき、
$$ \rho_\varepsilon\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n), \qquad \operatorname{supp}\rho_\varepsilon = \overline{B(0,\varepsilon)} $$
であり、
$$ \int_{\mathbb{R}^n}\rho_\varepsilon(x)\,dx=1 $$
が成り立つ。
定理：軟化子による平滑化
\(f\in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R}^n)\) とし、\(\varepsilon>0\) とする。
\(x\in\mathbb{R}^n\) に対して、
$$ f_\varepsilon(x) = (\rho_\varepsilon*f)(x) = \int_{\mathbb{R}^n} \rho_\varepsilon(x-y)f(y)\,dy $$
と定める。
このとき、積分はすべての \(x\in\mathbb{R}^n\) に対して有限であり、
$$ f_\varepsilon\in C^\infty(\mathbb{R}^n) $$
が成り立つ。
さらに、任意の多重指数
$$ \alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\mathbb{N}_0^n $$
に対して、
$$ \partial^\alpha f_\varepsilon(x) = \int_{\mathbb{R}^n} \partial^\alpha\rho_\varepsilon(x-y)f(y)\,dy $$
が成り立つ。すなわち、
$$ \partial^\alpha(\rho_\varepsilon*f) = (\partial^\alpha\rho_\varepsilon)*f $$
である。
証明
1．畳み込み積分が有限であること
固定した \(x\in\mathbb{R}^n\) を考える。
\(\rho_\varepsilon\) の台は \(\overline{B(0,\varepsilon)}\) であるから、
$$ \rho_\varepsilon(x-y)\neq 0 $$
となるためには、
$$ |x-y|\leq\varepsilon $$
でなければならない。
これは、
$$ y\in\overline{B(x,\varepsilon)} $$
を意味する。
したがって、
$$ f_\varepsilon(x) = \int_{B(x,\varepsilon)} \rho_\varepsilon(x-y)f(y)\,dy $$
と書くことができる。
\(\rho_\varepsilon\) はコンパクトな台をもつ連続関数であるから有界である。よって、
$$ \begin{aligned} |f_\varepsilon(x)| &\leq \int_{B(x,\varepsilon)} |\rho_\varepsilon(x-y)|\,|f(y)|\,dy\\ &\leq \|\rho_\varepsilon\|_{L^\infty} \int_{B(x,\varepsilon)}|f(y)|\,dy. \end{aligned} $$
\(f\in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R}^n)\) であるから、右辺は有限である。
したがって、\(f_\varepsilon(x)\) はすべての \(x\in\mathbb{R}^n\) に対して定義される。
2．畳み込みによって得られる関数の連続性
まず、より一般に、任意の多重指数 \(\alpha\) に対して、
$$ g_\alpha(x) = \int_{\mathbb{R}^n} \partial^\alpha\rho_\varepsilon(x-y)f(y)\,dy $$
とおく。
\(\partial^\alpha\rho_\varepsilon\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)\) であるから、先ほどと同様に、この積分は有限である。
ここで、点列 \(x_j\to x\) を取る。
各 \(y\in\mathbb{R}^n\) に対して、\(\partial^\alpha\rho_\varepsilon\) の連続性から、
$$ \partial^\alpha\rho_\varepsilon(x_j-y) \longrightarrow \partial^\alpha\rho_\varepsilon(x-y) $$
が成り立つ。
また、\(x_j\to x\) であるから、十分大きな \(j\) に対して、
$$ |x_j-x|\leq 1 $$
である。
このとき、\(\partial^\alpha\rho_\varepsilon(x_j-y)\neq 0\) ならば、
$$ |x_j-y|\leq\varepsilon $$
である。したがって、
$$ |x-y| \leq |x-x_j|+|x_j-y| \leq 1+\varepsilon $$
となる。
よって、十分大きな \(j\) に対して、
$$ \left| \partial^\alpha\rho_\varepsilon(x_j-y)f(y) \right| \leq \|\partial^\alpha\rho_\varepsilon\|_{L^\infty} |f(y)| \mathbf{1}_{B(x,\varepsilon+1)}(y) $$
が成り立つ。
ここで、\(\mathbf{1}_{B(x,\varepsilon+1)}\) は球 \(B(x,\varepsilon+1)\) の指示関数である。
\(f\in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R}^n)\) であるから、
$$ \|\partial^\alpha\rho_\varepsilon\|_{L^\infty} |f(y)| \mathbf{1}_{B(x,\varepsilon+1)}(y) $$
は \(y\) に関して可積分である。
したがって、ルベーグの優収束定理により、
$$ \begin{aligned} \lim_{j\to\infty}g_\alpha(x_j) &= \lim_{j\to\infty} \int_{\mathbb{R}^n} \partial^\alpha\rho_\varepsilon(x_j-y)f(y)\,dy\\ &= \int_{\mathbb{R}^n} \partial^\alpha\rho_\varepsilon(x-y)f(y)\,dy\\ &= g_\alpha(x). \end{aligned} $$
よって、\(g_\alpha\) は連続である。
3．積分の中で微分できること
\(e_i\) を \(\mathbb{R}^n\) の第 \(i\) 成分方向の単位ベクトルとする。
\(h\neq 0\) に対して、\(g_\alpha\) の差分商を計算すると、
$$ \begin{aligned} \frac{g_\alpha(x+he_i)-g_\alpha(x)}{h} &= \int_{\mathbb{R}^n} \frac{ \partial^\alpha\rho_\varepsilon(x+he_i-y) – \partial^\alpha\rho_\varepsilon(x-y) }{h} f(y)\,dy. \end{aligned} $$
各 \(y\) に対して、\(\partial^\alpha\rho_\varepsilon\) は微分可能であるから、
$$ \frac{ \partial^\alpha\rho_\varepsilon(x+he_i-y) – \partial^\alpha\rho_\varepsilon(x-y) }{h} \longrightarrow \partial^{\alpha+e_i}\rho_\varepsilon(x-y) $$
が \(h\to 0\) のときに成り立つ。
一方、平均値の定理により、\(|h|\leq 1\) のとき、
$$ \left| \frac{ \partial^\alpha\rho_\varepsilon(x+he_i-y) – \partial^\alpha\rho_\varepsilon(x-y) }{h} \right| \leq \|\partial^{\alpha+e_i}\rho_\varepsilon\|_{L^\infty} $$
である。
また、この差分商がゼロでないためには、少なくとも
$$ |x-y|\leq\varepsilon $$
または、
$$ |x+he_i-y|\leq\varepsilon $$
のどちらかが成り立たなければならない。
\(|h|\leq 1\) であるから、いずれの場合も、
$$ y\in B(x,\varepsilon+1) $$
となる。
したがって、
$$ \left| \frac{ \partial^\alpha\rho_\varepsilon(x+he_i-y) – \partial^\alpha\rho_\varepsilon(x-y) }{h} f(y) \right| \leq \|\partial^{\alpha+e_i}\rho_\varepsilon\|_{L^\infty} |f(y)| \mathbf{1}_{B(x,\varepsilon+1)}(y) $$
が成り立つ。
右辺は \(y\) に関して可積分である。
よって、ルベーグの優収束定理を用いると、
$$ \begin{aligned} \partial_i g_\alpha(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{g_\alpha(x+he_i)-g_\alpha(x)}{h}\\ &= \int_{\mathbb{R}^n} \partial^{\alpha+e_i}\rho_\varepsilon(x-y)f(y)\,dy\\ &= g_{\alpha+e_i}(x). \end{aligned} $$
したがって、
$$ \partial_i g_\alpha=g_{\alpha+e_i} $$
が成り立つ。
4．無限回微分可能性
\(\alpha=0\) の場合には、
$$ g_0(x) = \int_{\mathbb{R}^n} \rho_\varepsilon(x-y)f(y)\,dy = f_\varepsilon(x) $$
である。
先ほど示した関係を繰り返すことにより、任意の多重指数 \(\alpha\) に対して、
$$ \partial^\alpha f_\varepsilon = g_\alpha $$
となる。
さらに、すべての \(g_\alpha\) は連続である。
したがって、\(f_\varepsilon\) は任意の階数まで連続微分可能であり、
$$ f_\varepsilon\in C^\infty(\mathbb{R}^n) $$
である。
また、
$$ \partial^\alpha f_\varepsilon(x) = \int_{\mathbb{R}^n} \partial^\alpha\rho_\varepsilon(x-y)f(y)\,dy $$
が成り立つ。
$$ \Box $$
軟化子の微分の大きさ
軟化子の定義から、任意の多重指数 \(\alpha\) に対して、
$$ \partial^\alpha\rho_\varepsilon(x) = \frac{1}{\varepsilon^{n+|\alpha|}} (\partial^\alpha\rho)\left(\frac{x}{\varepsilon}\right) $$
が成り立つ。
ここで、
$$ |\alpha|=\alpha_1+\cdots+\alpha_n $$
である。
したがって、\(\varepsilon\) を小さくすると、軟化子は狭い範囲に集中する一方で、その導関数は大きくなる。
具体例：不連続な段差関数を滑らかにする
一次元で、段差関数
$$ H(x)= \begin{cases} 0, & x\leq 0,\\ 1, & x>0 \end{cases} $$
を考える。
この関数は \(x=0\) で不連続である。しかし、\(H\) は局所可積分であるため、軟化子との畳み込み
$$ H_\varepsilon(x) = (\rho_\varepsilon*H)(x) $$
を定義できる。
実際、
$$ \begin{aligned} H_\varepsilon(x) &= \int_{\mathbb{R}} \rho_\varepsilon(x-y)H(y)\,dy\\ &= \int_0^\infty \rho_\varepsilon(x-y)\,dy. \end{aligned} $$
ここで、
$$ z=x-y $$
と変数変換すると、
$$ H_\varepsilon(x) = \int_{-\infty}^{x}\rho_\varepsilon(z)\,dz $$
となる。
\(\rho_\varepsilon\) の台は \([-\varepsilon,\varepsilon]\) に含まれるため、\(x\leq-\varepsilon\) ならば、
$$ H_\varepsilon(x)=0 $$
である。
一方、\(x\geq\varepsilon\) ならば、
$$ H_\varepsilon(x) = \int_{-\infty}^{\infty}\rho_\varepsilon(z)\,dz = 1 $$
である。
したがって、
$$ H_\varepsilon(x)= \begin{cases} 0, & x\leq-\varepsilon,\\ \displaystyle\int_{-\infty}^{x}\rho_\varepsilon(z)\,dz, & -\varepsilon<x<\varepsilon,\\ 1, & x\geq\varepsilon \end{cases} $$
となる。
元の段差関数 \(H\) は \(x=0\) で突然 \(0\) から \(1\) へ変化するが、\(H_\varepsilon\) は区間 \((-\varepsilon,\varepsilon)\) の中で滑らかに \(0\) から \(1\) へ移り変わる。
さらに、微分すると、
$$ H_\varepsilon'(x)=\rho_\varepsilon(x) $$
である。
より一般に、
$$ H_\varepsilon^{(k)}(x) = \rho_\varepsilon^{(k-1)}(x) \qquad (k\geq 1) $$
が成り立つ。
したがって、
$$ H_\varepsilon\in C^\infty(\mathbb{R}) $$
である。
この例は、軟化子との畳み込みが、関数の不連続部分を幅およそ \(\varepsilon\) の範囲で平均化し、滑らかな関数へ変えることを表している。
開集合上の関数に軟化子を作用させる場合
\(\Omega\subset\mathbb{R}^n\) を開集合とし、
$$ f\in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega) $$
とする。
\(\varepsilon>0\) に対して、
$$ \Omega_\varepsilon = \left\{ x\in\Omega: \operatorname{dist}(x,\partial\Omega)>\varepsilon \right\} $$
と定める。
\(x\in\Omega_\varepsilon\) であれば、
$$ B(x,\varepsilon)\subset\Omega $$
である。
したがって、
$$ f_\varepsilon(x) = \int_{\Omega} \rho_\varepsilon(x-y)f(y)\,dy $$
と定めることができ、先ほどと同じ証明によって、
$$ f_\varepsilon\in C^\infty(\Omega_\varepsilon) $$
が成り立つ。
また、任意の多重指数 \(\alpha\) に対して、
$$ \partial^\alpha f_\varepsilon(x) = \int_{\Omega} \partial^\alpha\rho_\varepsilon(x-y)f(y)\,dy $$
である。
開集合上で軟化子を作用させる場合には、境界から少なくとも \(\varepsilon\) だけ離れた領域で滑らかさが保証される。
コメント