通常、関数が連続であれば、グラフにはある程度の滑らかさがあるように見える。
しかし、実際には実数全体で連続であるにもかかわらず、どの点においても微分できない関数が存在する。
この記事では、その具体例として、次のワイエルシュトラス関数を扱う。
$$ W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}\cos\left(\pi 13^n x\right). $$
この関数が実数全体で連続であり、同時に実数上のどの点でも微分不可能であることを証明する。
定理：連続だがどこでも微分できない関数の存在
関数 \(W:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) を、
$$ W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n}\cos\left(\pi 13^n x\right) $$
によって定める。
このとき、級数は \(\mathbb{R}\) 上で一様収束し、
$$ W\in C(\mathbb{R}) $$
となる。
一方、\(W\) は任意の \(x_0\in\mathbb{R}\) において微分不可能である。
したがって、\(W\) は実数全体で連続でありながら、どこでも微分できない関数である。
証明
1．級数が一様収束すること
各非負整数 \(n\) に対して、
$$ f_n(x) = 2^{-n}\cos\left(\pi 13^n x\right) $$
とおく。
すべての \(x\in\mathbb{R}\) に対して、
$$ \left|f_n(x)\right| = 2^{-n} \left|\cos\left(\pi 13^n x\right)\right| \leq 2^{-n} $$
が成り立つ。
一方、等比級数
$$ \sum_{n=0}^{\infty}2^{-n} $$
は収束し、
$$ \sum_{n=0}^{\infty}2^{-n}=2 $$
である。
したがって、ワイエルシュトラスのM判定法により、
$$ \sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n}\cos\left(\pi 13^n x\right) $$
は \(\mathbb{R}\) 上で一様収束する。
各 \(f_n\) は連続関数であり、連続関数列の一様極限は連続である。
よって、
$$ W\in C(\mathbb{R}) $$
である。
2．特定の周波数だけを取り出す補助関数
次に、\(W\) がどこでも微分できないことを示す。
そのために、フーリエ変換を使って、級数の中から特定の周波数だけを取り出す。
まず、関数 \(\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) を、
$$ \varphi(s) = \begin{cases} \displaystyle e\exp\left(-\frac{1}{1-s^2}\right), & |s|<1,\\ 0, & |s|\geq1 \end{cases} $$
と定める。
前回の記事で証明したように、
$$ \varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R}) $$
である。
また、
$$ \varphi(0)=1 $$
である。
ここで、
$$ \widehat{\psi}(\xi) = 2\varphi\left( \frac{4(\xi-\pi)}{\pi} \right) $$
と定める。
このとき、
$$ \widehat{\psi}\in C_c^\infty(\mathbb{R}) $$
であり、
$$ \operatorname{supp}\widehat{\psi} \subset \left[ \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right] $$
となる。
特に、\(\widehat{\psi}\) の台は正の周波数 \(\pi\) の近くにだけ存在する。
さらに、
$$ \widehat{\psi}(\pi)=2 $$
である。
フーリエ変換を、
$$ \widehat{\psi}(\xi) = \int_{\mathbb{R}} \psi(u)e^{-i\xi u}\,du $$
という規約で定める。
\(\widehat{\psi}\) の逆フーリエ変換を、
$$ \psi(u) = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} \widehat{\psi}(\xi)e^{i\xi u}\,d\xi $$
とする。
\(\widehat{\psi}\) は滑らかでコンパクトな台をもつため、その逆フーリエ変換 \(\psi\) はシュワルツ関数である。
すなわち、任意の非負整数 \(p,q\) に対して、
$$ \sup_{u\in\mathbb{R}} \left| u^p\psi^{(q)}(u) \right| <\infty $$
が成り立つ。
3．逆フーリエ変換が急速に減衰すること
ここで、\(\psi\) がシュワルツ関数になることを確認する。
任意の非負整数 \(q\) に対して、積分の中で微分することにより、
$$ \psi^{(q)}(u) = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} (i\xi)^q\widehat{\psi}(\xi)e^{i\xi u}\,d\xi $$
となる。
また、
$$ u^p e^{i\xi u} = \frac{1}{i^p} \frac{\partial^p}{\partial\xi^p} e^{i\xi u} $$
である。
したがって、部分積分を \(p\) 回行うと、
$$ \begin{aligned} u^p\psi^{(q)}(u) &= \frac{1}{2\pi i^p} \int_{\mathbb{R}} (i\xi)^q\widehat{\psi}(\xi) \frac{\partial^p}{\partial\xi^p} e^{i\xi u}\,d\xi\\ &= \frac{(-1)^p}{2\pi i^p} \int_{\mathbb{R}} \frac{\partial^p}{\partial\xi^p} \left[ (i\xi)^q\widehat{\psi}(\xi) \right] e^{i\xi u}\,d\xi. \end{aligned} $$
\(\widehat{\psi}\) はコンパクトな台をもつため、部分積分における境界項は消える。
さらに、
$$ \frac{\partial^p}{\partial\xi^p} \left[ (i\xi)^q\widehat{\psi}(\xi) \right] $$
もコンパクトな台をもつ連続関数である。
したがって、その絶対値の積分は有限であり、
$$ \sup_{u\in\mathbb{R}} \left| u^p\psi^{(q)}(u) \right| <\infty $$
となる。
よって、\(\psi\) はシュワルツ関数である。
4．補助関数のゼロ次と一次のモーメント
\(\widehat{\psi}\) の台は、原点を含まない区間
$$ \left[ \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right] $$
に含まれる。
したがって、原点の近くでは \(\widehat{\psi}\) は恒等的にゼロである。
特に、
$$ \widehat{\psi}(0)=0 $$
であり、フーリエ変換の定義から、
$$ \int_{\mathbb{R}}\psi(u)\,du=0 $$
を得る。
さらに、
$$ \widehat{\psi}'(\xi) = -i \int_{\mathbb{R}} u\psi(u)e^{-i\xi u}\,du $$
である。
原点の近くで \(\widehat{\psi}=0\) であるから、
$$ \widehat{\psi}'(0)=0 $$
である。
したがって、
$$ \int_{\mathbb{R}}u\psi(u)\,du=0 $$
も成り立つ。
5．級数から第 \(m\) 番目の周波数だけを取り出す
任意の \(x_0\in\mathbb{R}\) を固定する。
非負整数 \(m\) に対して、
$$ t_m=13^{-m} $$
とおき、
$$ J_m(x_0) = \int_{\mathbb{R}} W(x_0-t_m u)\psi(u)\,du $$
と定める。
\(W\) を定義する級数は一様収束し、\(\psi\in L^1(\mathbb{R})\) であるから、級数と積分の順序を交換できる。
したがって、
$$ J_m(x_0) = \sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n} \int_{\mathbb{R}} \cos\left( \pi13^n(x_0-13^{-m}u) \right) \psi(u)\,du $$
となる。
複素指数関数を用いると、
$$ \cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} $$
であるから、
$$ \begin{aligned} & \int_{\mathbb{R}} \cos\left( \pi13^n(x_0-13^{-m}u) \right) \psi(u)\,du\\ &= \frac{1}{2} e^{i\pi13^n x_0} \widehat{\psi}\left( \pi13^{n-m} \right) + \frac{1}{2} e^{-i\pi13^n x_0} \widehat{\psi}\left( -\pi13^{n-m} \right). \end{aligned} $$
\(\widehat{\psi}\) の台は正の区間
$$ \left[ \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right] $$
に含まれる。
したがって、すべての \(n,m\) に対して、
$$ \widehat{\psi}\left( -\pi13^{n-m} \right)=0 $$
である。
また、\(n=m\) ならば、
$$ \pi13^{n-m}=\pi $$
であるため、
$$ \widehat{\psi}\left( \pi13^{n-m} \right) = \widehat{\psi}(\pi) = 2 $$
となる。
一方、\(n<m\) ならば、
$$ 0<\pi13^{n-m}\leq\frac{\pi}{13} <\frac{3\pi}{4} $$
である。
\(n>m\) ならば、
$$ \pi13^{n-m}\geq13\pi >\frac{5\pi}{4} $$
である。
よって、\(n\neq m\) のとき、
$$ \widehat{\psi}\left( \pi13^{n-m} \right)=0 $$
となる。
したがって、無限級数の中で \(n=m\) の項だけが残り、
$$ J_m(x_0) = 2^{-m}e^{i\pi13^m x_0} $$
を得る。
特に、
$$ \left|J_m(x_0)\right|=2^{-m} $$
である。
6．微分可能であると仮定する
\(W\) がある点 \(x_0\in\mathbb{R}\) で微分可能であると仮定する。
また、
$$ L=W'(x_0) $$
とおく。
\(\int_{\mathbb{R}}\psi(u)\,du=0\) であるから、
$$ \begin{aligned} J_m(x_0) &= \int_{\mathbb{R}} W(x_0-t_m u)\psi(u)\,du\\ &= \int_{\mathbb{R}} \left[ W(x_0-t_m u)-W(x_0) \right] \psi(u)\,du. \end{aligned} $$
したがって、
$$ \frac{J_m(x_0)}{t_m} = \int_{\mathbb{R}} \frac{ W(x_0-t_m u)-W(x_0) }{t_m} \psi(u)\,du $$
となる。
固定した \(u\in\mathbb{R}\) に対して、\(m\to\infty\) のとき \(t_m\to0\) である。
\(W\) が \(x_0\) で微分可能であるという仮定から、
$$ \frac{ W(x_0-t_m u)-W(x_0) }{t_m} \longrightarrow -Lu $$
が成り立つ。
7．積分極限の正当化
微分可能性から、ある \(\delta>0\) と定数 \(C>0\) が存在し、\(|h|\leq\delta\) のとき、
$$ |W(x_0+h)-W(x_0)| \leq C|h| $$
が成り立つ。
積分領域を、
$$ A_m = \left\{ u\in\mathbb{R}: |u|\leq\frac{\delta}{t_m} \right\} $$
とその補集合に分ける。
\(u\in A_m\) ならば、\(|t_m u|\leq\delta\) であるから、
$$ \left| \frac{ W(x_0-t_m u)-W(x_0) }{t_m} \right| \leq C|u| $$
となる。
\(\psi\) はシュワルツ関数であるから、
$$ \int_{\mathbb{R}}|u\psi(u)|\,du<\infty $$
である。
したがって、ルベーグの優収束定理により、
$$ \begin{aligned} & \lim_{m\to\infty} \int_{A_m} \frac{ W(x_0-t_m u)-W(x_0) }{t_m} \psi(u)\,du\\ &= -L\int_{\mathbb{R}}u\psi(u)\,du\\ &=0. \end{aligned} $$
次に、\(A_m\) の外側の積分を考える。
一様収束の証明から、
$$ |W(x)|\leq2 $$
がすべての \(x\in\mathbb{R}\) に対して成り立つ。
したがって、
$$ |W(x_0-t_m u)-W(x_0)| \leq4 $$
である。
よって、
$$ \begin{aligned} & \left| \int_{\mathbb{R}\setminus A_m} \frac{ W(x_0-t_m u)-W(x_0) }{t_m} \psi(u)\,du \right|\\ &\leq \frac{4}{t_m} \int_{|u|>\delta/t_m} |\psi(u)|\,du. \end{aligned} $$
\(\psi\) はシュワルツ関数であるから、任意の \(N>0\) に対して、ある定数 \(C_N>0\) が存在し、
$$ |\psi(u)| \leq C_N(1+|u|)^{-N} $$
となる。
\(N>2\) とすれば、
$$ \frac{1}{t_m} \int_{|u|>\delta/t_m} |\psi(u)|\,du \longrightarrow0 $$
である。
以上により、
$$ \frac{J_m(x_0)}{t_m} \longrightarrow0 $$
を得る。
8．矛盾
一方、すでに、
$$ J_m(x_0) = 2^{-m}e^{i\pi13^m x_0} $$
と計算した。
また、\(t_m=13^{-m}\) であるから、
$$ \frac{J_m(x_0)}{t_m} = \left(\frac{13}{2}\right)^m e^{i\pi13^m x_0} $$
となる。
したがって、その絶対値は、
$$ \left| \frac{J_m(x_0)}{t_m} \right| = \left(\frac{13}{2}\right)^m $$
である。
\(13/2>1\) であるから、
$$ \left(\frac{13}{2}\right)^m \longrightarrow\infty $$
となる。
これは、
$$ \frac{J_m(x_0)}{t_m} \longrightarrow0 $$
と矛盾する。
したがって、\(W\) は \(x_0\) において微分可能ではない。
\(x_0\in\mathbb{R}\) は任意に選んだので、\(W\) は実数上のどの点においても微分不可能である。
以上により、
$$ W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n}\cos\left(\pi13^n x\right) $$
は実数全体で連続でありながら、どこでも微分できない関数である。
$$ \Box $$
具体例：部分和の形
ワイエルシュトラス関数の第 \(N\) 部分和を、
$$ W_N(x) = \sum_{n=0}^{N} 2^{-n}\cos\left(\pi13^n x\right) $$
とする。
最初のいくつかは、
$$ W_0(x)=\cos(\pi x), $$
$$ W_1(x) = \cos(\pi x) + \frac{1}{2}\cos(13\pi x), $$
$$ W_2(x) = \cos(\pi x) + \frac{1}{2}\cos(13\pi x) + \frac{1}{4}\cos(169\pi x) $$
である。
各部分和 \(W_N\) は有限個の余弦関数の和なので、無限回微分可能である。
しかし、\(N\) を増やすごとに、振幅の小さな非常に細かい振動が加わっていく。
形式的に微分すると、
$$ W_N'(x) = -\pi \sum_{n=0}^{N} \left(\frac{13}{2}\right)^n \sin\left(\pi13^n x\right) $$
となる。
元の級数では各項の振幅 \(2^{-n}\) はゼロへ近づく。一方、微分すると、周波数 \(13^n\) が掛かるため、微分後の振幅は、
$$ \left(\frac{13}{2}\right)^n $$
となり、急速に増大する。
これが、極限関数に接線が存在しなくなる直感的な理由である。
ただし、形式的に微分した級数が発散することだけでは、元の関数が微分不可能であることの証明にはならない。
実際の証明では、補助関数 \(\psi\) を使って各周波数を正確に取り出すことで、どの点でも微分できないことを示した。
ワイエルシュトラス関数の基本的な値
\(x=0\) では、すべての余弦が \(1\) になるので、
$$ W(0) = \sum_{n=0}^{\infty}2^{-n} = 2 $$
である。
また、\(13^n\) は奇数であるため、
$$ \cos(\pi13^n)=-1 $$
である。したがって、
$$ W(1) = -\sum_{n=0}^{\infty}2^{-n} = -2 $$
となる。
さらに、すべての \(n\) に対して、
$$ \cos\left(\pi13^n(x+2)\right) = \cos\left(\pi13^n x\right) $$
であるから、
$$ W(x+2)=W(x) $$
が成り立つ。
したがって、\(W\) は周期 \(2\) の連続関数である。
また、余弦関数は偶関数なので、
$$ W(-x)=W(x) $$
も成り立つ。
このように、ワイエルシュトラス関数は有界で周期的な連続関数でありながら、そのグラフ上には接線を引ける点が一つも存在しない。
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